Деление с остатком
Деление с остатком При выполнении операции деления с остатком получается частное и остаток. Для нахождения частного и остатка в системе Mathematica предусмотрены функции Quotient и Mod.
&nb...
Частное при делении с остатком — функция Quotient
Частное при делении с остатком — функция Quotient Чтобы получить частное при делении (с остатком) л на т, нужно воспользоваться функцией Quotient [n,m]. Рассмотрим пример. Quotient [16,5] 3 Для це...
Пример 1
Пример 1А вот вид вблизи....
Пример 2
Пример 2...
Остаток от деления — функция Mod
Остаток от деления — функция Mod Чтобы получить остаток от деления n на m, нужно воспользоваться функцией Mod[n,m]. Наименьший возможный остаток в этом случае равен нулю, а наибольший... Как вы ду...
Пример 1
Пример 1Теперь, надеюсь, вы поняли, что множество значений Mod[n,m] не имеет набольшего элемента. Можно лишь утверждать, что при вещественных m и n 0<Mod [n, m] <m, причем все значения из от...
Пример 2
Пример 2А вот вид вблизи....
Пример 3
Пример 3...
Возведение в степень в модулярной
Возведение в степень в модулярной арифметике — функция Power Mod Иногда приходится решать задачи такого типа: найти вычет аb по модулю n; найти последние m цифр числа аb в системе счисления...
Пример 1
Пример 1А вот вид издалека....
Пример 2
Пример 2...
Китайская теорема об остатках — функция ChineseRemainder
Китайская теорема об остатках — функция ChineseRemainder Хитрый китаец Сунь Цю около 2000 лет назад (конечно, это могло быть и 200 лет до нашей эры, и 200 лет после начала нашей эры) открыл правил...
Пример 1
Пример 1где ci — произведение всех модулей, кроме mi: сi = m/mi, a di=ci-1 (modmi) (т.е. dici = 1(modmi)). Эта теорема имеет многочисленные применения в математике, информатике (машинная ариф...
Пример 2
Пример 2Ну и корзинка, которая вмещала столько яиц!...
Корни в системе остаточных классов
Корни в системе остаточных классов Задача о корзинке с яйцами представляет собой задачу о решении системы сравнений вида u=ui(modmi) с попарно взаимно простыми модулями mt. Конечно, она допускает...
Квадратный корень по модулю — функции SqrtMod и SqrtModList
Квадратный корень по модулю — функции SqrtMod и SqrtModList Конечно, квадратных корней в системе остаточных классов — решений сравнения х =d (mod n) — может быть более одного. Поэтому в системе Ma...
Пример 1
Пример 1Убедимся, например, что квадратный корень из 3 по модулю 5 не существует. Mod[{0,l,2,3,4}*2,5] {0,1,4,4,1} Ну и, конечно, нельзя не пройти мимо вычисления квадратного корня из 2. Sqrt...
Пример 2
Пример 2Однако не всегда такие вычисления происходят мгновенно. Для вычисления квадратного корня приходится разлагать модуль на множители, и потому для очень больших составных модулей функция Sqrt...
Пример 3
Пример 3 . Если символ Якоби ...
Пример 4
Пример 4го d является квадратичным невычетом по модулю d. Если же Якоби ...
Пример 5
Пример 5 и и простое, то d является квадратичным вычетом по модулю п. (Однако если неизвестно, простое ли п, но известно, что символ Якоби ...
Пример 6
Пример 6 то о квадратичности вычета d по модулю и судить непосредственно нельзя.) Для вычисления символа Якоби в системе Mathematica предусмотрена функция JacobiSymbol [d, n]. Число 2 не явл...
Первообразные корни по модулю n
Первообразные корни по модулю n Показатели — функция MultiplicativeOrder Наименьшее натуральное решение т показательного сравнения km =1(modn) называется показателем числа k по модулю п. (Ино...
Критерии простоты чисел специального вида
Критерии простоты чисел специального вида Рассмотренные числовые функции могут успешно применяться для проверки простоты чисел специального вида. С помощью числовых функций для чисел специального...
Простые числа Мерсенна тест ЛюкаЛемера
Простые числа Мерсенна, тест Люка-Лемера Наибольшее простое число поймано решетом Эратосфена. Конечно, решето Эратосфена годится для поиска простых чисел Мерсенна не более чем консервная банка для...
Пример 1
Пример 1Если же взять сто тысяч простых чисел, получится список из 4536 элементов. Конечно, это тоже не очень много. Кроме того, не все элементы этого списка годятся для отсеивания. Не годятся, на...
Простые числа вида k*2n +1
Простые числа вида k*2n +1 Для чисел вида k*2n+1 существует весьма эффективный критерий простоты. Он состоит в проверке сравнения а2n-1 =-1 (mod k*2n +1) для некоторого а. Однако выбор этого а зав...
Пример 1
Пример 1Чтобы в таблице сначала шли меньшие модули 5 (они помогают отбраковать больше кандидатов), таблицу пришлось отсортировать, предварительно вычеркнув из нее элементы NULL, которые соответ...
Пример 2
Пример 2Чтобы в таблице сначала шли меньшие модули s (они помогают отбраковать больше кандидатов), таблицу пришлось отсортировать, предварительно вычеркнув из нее элементы NULL, которые соответств...
Пример 3
Пример 3Прежде всего заметим, что если Р — 3*2n +1, то...
Пример 4
Пример 4— число, четное при n>1. Поэтому ...
Пример 5
Пример 5 и потому ...
Пример 6
Пример 6Как видим, для поиска квадратичного невычета r можно использовать функцию JacobiSymbol. В качестве г можно брать небольшие нечетные числа и вычислять для них символ Якоби. (Для квадратично...
Резюме
РезюмеМы рассмотрели определение частного (функция Quotient) и остатка (функция Mod), а также возведение в степень в модулярной арифметике (функция PowerMod) и основу основ модулярной арифметики —...